ALJABAR

·         Bentuk Aljabar

Bentuk Aljabar merupakan bentuk operasi atau pengerjaan hitung yang terdiri dari satu atau beberapa suku yang melibatkan peubah atau variabel.

Unsur-unsur bentuk aljabar:

Variabel : lambang pada bentuk aljabar yang dinyatakan dengan huruf kecil
Koefisien : lambang [bilangan] yang memuat suatu variabel
Konstanta : bilangan yang tidak memuat suatu variabel
Faktor : bagian dari suatu hasil kali
Suku : bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi hitung, yaitu:

Suku Sejenis adalah suku-suku dalam bentuk aljabar yang mempunyai variabel yang sama, sehingga dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Suku Tak Sejenis adalah suku-suku dalam bentuk aljabar yang mempunyai variabel yang berbeda.

·         Operasi bentuk aljabar

Operasi penjumlahan dan pengurangan

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada suku yang sejenis, dengan cara mengoperasikannya pada konstantanya.

Contoh:

1.       4a + 2a = [4 + 2] a = 6a

2.       5m + 3m = [5 + 3] m = 8m

3.       8x - 2x = [8 - 2] x = 6x

4.       3p - 2p = [3 -2]p = 1p = p

5.       -5r + 3r = [-5 + 3]r = -2r

6.       5r - 2r + 4r = [5 - 2 + 4]r = 7r

7.       -7r + 4p + 5r + 2p = [-7 + 5] r + [4 + 2]p
                                = -2r + 6p

8.       [3x - 2y] - [x - 3y] = 3x - 2y - x - 3y
                               = [3 - 1] x + [-2 - 3]y
                               = 3x - x - 2y - 3y
                               = 2x + [-5]y
                               = 2x - 5y

Operasi perkalian

Ingat kembali bahwa pada operasi perkalian bilangan bulat terdapat sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan, yaitu a(b + c)= ab + ac , dan a(b – c) = ab – ac. Pada operasi perkalian bentuk aljabar sifat tersebut juga berlaku.

Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Untuk melakukan operasi perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar, dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan mengalikan konstanta tersebut dengan konstanta pada bentuk aljabar.

Perkalian antara dua bentuk aljabar

Seperti pada perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar, dalam perkalian dua bentuk aljabar berlaku juga sifat distributif. Untuk suku yang sejenis, jika variabel dikalikan maka akan menjadi pangkat, misal y x y = y2, sedangkan konstanta dikalikan seperti biasa. Untuk suku yang tidak sejenis maka variabelnya akan dituliskan saja, dan konstanta dikalikan seperti biasa.

Contoh:

1.       [x + 5][x + 3] = [x + 5]x + [x + 5]3
                       = x2 + 5x + 3x + 15
                       = x2 + 8x + 15

2.       [2x + 4][3x + 1] = [2x + 4]3x + [2x + 4]1
                            = 6x2 + 12x + 2x + 4
                            = 6x2 + 14x + 4

3.       [x – 4][x + 1] = [x – 4]x + [x – 4]1
                       = x2 – 4x + x – 4
                       = x2 – 3x – 4

4.       [–3x + 2][x – 5] = [–3x + 2]x + [–3x + 2][–5]
                            = –3x2 + 2x + 15x – 10
                            = –3x2 + 17x – 10

5.       [x + 1][x + 2] = x2 + 2x + x + 2
                       = x2 + 3x + 2

6.       [x + 8][2x + 4]= 2x2 + 4x + 16x + 32
                        = 2x2 + 20x + 32

7.       [x – 2][x + 5] = x2 + 5x –2x –10
                       = x2 + 3x – 10

8.       [3x + 4][x –8] = 3x2 – 24x + 4x – 32
                        = 3x2 – 20x – 32

Operasi pembagian

Operasi pembagian pada bentuk aljabar dilakukan dengan cara membagi konstantanya seperti biasa, namun untuk variabelnya, dilihat dulu koefisien dari kedua variabelnya, kemudian bagi masing-masing variabelnya dengan koefisiennya.

Contoh:

1.) 2x : 2 = 2x / 2  =  x

2.)  24x2 y + 12 xy2 : 4xy = 24x2 y / 4xy +  12xy2  / 4xy

                                           = 6x + 3y

3.)  10r : 2r   =   10r / 2r   =   5

4.)  ( 8p3 + 10p2  – 12 p ) : ( -2p )  =  ( 8p3 + 10p2  – 12 p ) /  ( -2p )

                                                          = 8p3 + 10p2 – 12 p / -2p

                                                          = -4p2 – 5p + 6

Operasi perpangkatan

Sifat-sifat perpangkatan bilangan bulat berlaku juga pada pemangkatan bentuk aljabar.

Contoh, tentukan koefisien dari:

a. x2 pada (2x – 5)2.

b. x2 pada (x – 3)5.

c. x3y pada (3x + 2y)4.

d. x2y2 pada (x + 2y)4.

e. a3 pada (4 – 2a)4.

Penyelesaian:

a. (2x – 5)2 = 1(2x)2(-5)0 + 2(2x)1(-5)1 + 1(2x)0(-5)2

= 1(4x2)(1) + 2(2x)(-5) + 1(1)(25)

= 4x2 – 20x + 25

Jadi, koefisien x2 adalah 4.

b. (x – 3)5 = 1(x)5(-3)0 + 5(x)4(-3)1 + 10(x)3(-3)2 + 10(x)2(-3)3 + 5(x)1(-3)4 + 1(x)0(-3)5

= 1(x5)(1) + 5(x4)(-3) + 10(x3)(9) + 10(x2)(-27) + 5(x)(81) + 1(1)(405)

= x5 – 15x4 + 90x3 – 270x2 + 405x + 243

Jadi, koefisien x2 adalah -270.

c. (3x + 2y)4 = 1(3x)4(2y)0 + 4(3x)3(2y)1 + 6(3x)2(2y)2 + 4(3x)1(2y)3 + 1(3x)0(2y)4

= 1(81x4)(1) + 4(27x3)(2y) + 6(9x2)(4y2) + 4(3x)1(8y3) + 1(1)(16y4)

= 81x4 + 216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4

Jadi, koefisien x3y adalah 216.

d. (x + 2y)4 = 1(x)4(2y)0 + 4(x)3(2y)1 + 6(x)2(2y)2 + 4(x)1(2y)3 + 1(x)0(2y)4

= 1(x4)(1) + 4(x3)(2y) + 6(x2)(4y2) + 4(x)(8y3) + 1(1)(16y4)

= x4 + 8x32y + 24x24y2 + 32xy3 + 16y4

Jadi, koefisien x2y2 adalah 24.

e. (4 – 2a)4 = 1(4)4(-2a)0 + 4(4)3(-2a)1 + 6(4)2(-2a)2 + 4(4)1(-2a)3 + 1(4)0(-2a)4

= 1(256)(1) + 4(64)(-2a) + 6(16)(4a2) + 4(4)(-8a3) + 1(1)(16a4)

= 256 – 512a + 384a2 – 128a3 + 16a4

Jadi, koefisien a3 adalah -128.