Vektor adalah sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor juga dapat digambarkan sebagai panah yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut juga Besar Vektor.Jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya terdapat tanda garis/ panah seperti atau atau bisa juga :
Jenis – Jenis Vektor
Vektor juga memiliki beberapa jenis tersendiri, yaitu sebagai berikut :
Vektor Posisi :
Adalah Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A (a1, a2).
Vektor Nol :
Adalah Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan . Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.
Vektor Satuan :
Adalah Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari = adalah =
Vektor Basis :
Adalah sebuah vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi (R2) memiliki dua vektor basis yaitu = (1, 0) dan = (0, 1).
Macam – Macam Beserta Operasi Vektor
Vektor juga memiliki beberapa macam – macam nya, yaitu sebagai berikut :
Vektor di R2 :
Panjang sebuah segmen garis yang menyatakan vektor atau dinotasikan sebagai Panjang vektor yaitu sebagai :
Panjang vektor tersebut ialah dapat dikaitkan dengan sudut yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x positif.
Operasi Vektor di R2 :
⇒ Penjumlahan dan Pengurangan Vektor di R2 :
Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya dapat disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang juga seletak. Jika maka :
Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah berikut ini :
Dalam pengurangan vektor ini, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu sebagai berikut ini :
Sifat – sifat dalam penjumlahan vektor adalah sebagai berikut :
⇒ Perkalian Vektor di R2 Dengan Skalar :
Suatu vektor juga dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika adalah vektor dan k merupakan skalar. Maka perkalian vektor dapat dinotasikan :
Dengan Keterangan :
Jika k > 0, maka vektor searah dengan vektor .
Jika k < 0, maka vektor berlawanan arah dengan vektor .
Jika k = 0, maka vektor adalah vektor identitas .
Secara grafis perkalian ini juga dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah berikut ini :
Secara aljabar perkalian vektor dengan skalar k juga dapat dirumuskan sebagai berikut ini :
⇒ Perkalian Skalar Dua Vektor di R2 :
Perkalian skalar dua vektor dapat disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan juga dapat ditulis sebagai :
Contoh Soal
Soal Nomor 1 Diketahui vektor →a=ˆi+2ˆj−3ˆk, →b=3ˆi+5ˆk, →c=−2ˆi−4ˆj+ˆk, dan →u=2→a+→b−→c. Vektor →u adalah ⋯⋅ A. 5ˆi+6ˆj+ˆk B. 3ˆi−2ˆj−2ˆk C. 2ˆi−2ˆj D. 7ˆi+8ˆj−2ˆk E. 7ˆi−8ˆj−2ˆk
Pembahasan
Diketahui: →a=(1,2,−3)→b=(3,0,5)→c=(−2,−4,1) Dengan demikian, →u=2→a+→b−→c=2(1,2,−3)+(3,0,5)−(−2,−4,1)=(2,4,−6)+(3,0,5)+(2,4,−1)=(2+3+2,4+0+4,−6+5−1)=(7,8,−2) Jadi, vektor →u adalah 7ˆi+8ˆj−2ˆk (Jawaban D)
Soal Nomor 2 Diketahui A(1,2,3),B(3,3,1), dan C(7,5,−3), Jika A,B, dan C segaris (kolinear), maka →AB:→BC adalah ⋯⋅ A. 1:2 D. 5:7 B. 2:1 E. 7:5 C. 2:5
Pembahasan
Karena A,B,C segaris, maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik itu akan saling berkelipatan (memiliki perbandingan). Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui →AB=B−A=(3,3,1)−(1,2,3)=(2,1,−2)→BC=C−B=(7,5,−3)−(3,3,1)=(4,2,−4) Dengan demikian, →AB→BC=(2,1,−2)(4,2,−4)=(2,1,−2)2(2,1,−2)=12 Jadi, →AB:→BC=1:2 (Jawaban A)
Soal Nomor 3 Diketahui vektor →a=ˆi+2ˆj−xˆk, →b=3ˆi−2ˆj+ˆk, dan →c=2ˆi+ˆj+2ˆk. Jika →a⊥→c, maka nilai dari (→a+→b)∙(→a−→c) adalah ⋯⋅ A. −4 C. 0 E. 4 B. −2 D. 2
Pembahasan
Diketahui: →a=⎛⎜⎝12−x⎞⎟⎠→b=⎛⎜⎝3−21⎞⎟⎠→c=⎛⎜⎝212⎞⎟⎠ Karena →a⊥→c (saling tegak lurus), maka →a∙→c=0, sehingga ditulis ⎛⎜⎝12−x⎞⎟⎠∙⎛⎜⎝212⎞⎟⎠=0(1)(2)+(2)(1)+(−x)(2)=02+2−2x=0−2x=−4x=2 Dengan demikian, (→a+→b)∙(→a−→c)=⎡⎢⎣⎛⎜⎝12−x⎞⎟⎠+⎛⎜⎝3−21⎞⎟⎠⎤⎥⎦∙⎡⎢⎣⎛⎜⎝12−x⎞⎟⎠−⎛⎜⎝212⎞⎟⎠⎤⎥⎦=⎡⎢⎣⎛⎜⎝12−2⎞⎟⎠+⎛⎜⎝3−21⎞⎟⎠⎤⎥⎦∙⎡⎢⎣⎛⎜⎝12−2⎞⎟⎠−⎛⎜⎝212⎞⎟⎠⎤⎥⎦=⎛⎜⎝40−1⎞⎟⎠∙⎛⎜⎝−11−4⎞⎟⎠=(4)(−1)+(0)(1)+(−1)(−4)=0Jadi, hasil dari (→a+→b)∙(→a−→c)=0 (Jawaban C)
Soal Nomor 4 Diketahui vektor →u=3ˆi+2ˆj−ˆk dan →v=3ˆi+9ˆj−12ˆk. Jika vektor 2→u−a→v tegak lurus terhadap →v, maka nilai a=⋯⋅ A. −1 C. 1 E. 3 B. −13 D. 13
Pembahasan
Diketahui: →u=(3,2,−1) dan →v=(3,9,−12) Misalkan →x=2→u−a→v, sehingga →x=2(3,2,−1)−a(3,9,−12)=(6,4,−2)−(3a,9a,−12a)=(6−3a,4−9a,−2+12a) Karena vektor →x=2→u−a→v tegak lurus terhadap →v, maka haruslah memenuhi →x∙→v=0, sehingga ditulis (6−3a,4−9a,−2+12a)∙(3,9,−12)=03(6−3a)+9(4−9a)+(−12)(−2+12a)=018−9a+36−81a+24−144a=078−234a=0−234a=−78a=13Jadi, nilai a=13 (Jawaban D)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar