LINGKARAN

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang  dinamakan titik pusat lingkaran.

A. Unsur-unsur Lingkaran

            

Keterangan:

Titik O = pusat lingkaran
Garis OA =OB = OD = jari-jari lingkaran
AB = diameter lingkaran
Garis lurus BD = tali busur
Garis lengkung AD dab BD = busur
Garis OE = apotema
Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur = juring 

        ⇨ misal AOD
        Daerah yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan dua jari-jari = tembereng (yang diarsir)

            B. Keliling dan Luas lingkaran

Keliling lingkaran = 2πr = πd

Luas lingkaran = πr2 = π ( 1/2 d )2 = 1/4 π d2

Keterangan:
r = jari-jari lingkaran
d = diameter lingkaran
π = 22/7 atau 3,14

C. Panjang Busur dan Luas Juring

            

Luas tembereng = luas juring AOD – luas segitiga AOD

D. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

             

            Perhatikan gambar di atas

            ∠AOB = sudut pusat
            ∠ACB = sudut keliling

Sudut pusat dan sudut keliling saling berhubungan jika sama-sama menghadap busur yang sama. Terlihat bahwa ∠AOB menghadap busur AB, ∠ACB juga menghadap busur AB, sehingga : ∠AOB = 2∠ACB

E. Segiempat Tali Busur
Segiempat Tali Busur adalah segiempat yang dibatasi oleh empat tali busur dimana keempat titik sudutnya menyinggung sisi lingkaran. Jumlah dua sudut yang berhadapan adalah 180o.

            

∠A + ∠C = 180o

∠B + ∠D = 180o

F. Sudut Antara Dua Tali Busur

            

∠ AEC = 1/2 ( ∠ BOD + ∠ AOC )

             

Pada gambar di atas: BC dan AD diperpanjang sehingga berpotongan di P, maka:
∠ APC = ∠ BPD = 1/2 ( ∠ BOD - ∠ AOC )

G. Garis Singgung Lingkaran

           

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari yang melalui titik singgungnya. Garis a adalah garis singgung lingkaran yang menyinggung lingkaran di titik A. Garis a tegak lurus OA.
Maka panjang AB = √ OB2 - OA2

1. Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran

           

R = jari-jari lingkaran; P dan r = jari-jari lingkaran Q; Panjang AB = CQ.
Panjang garis singgung persekutuan dalam AB adalah: AB = √PQ2 − (R + r)2

            2. Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran

           

            AB disebut garis singgung persekutuan luar dua lingkaran P dan Q.
            R = jari-jari lingkaran; P dan r = jari-jari lingkaran Q; Panjang AB = CQ.
            Panjang garis singgung persekutuan luar AB adalah: AB = √PQ2 − (R - r)2

            H. Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

            1. Lingkaran Dalam Segitiga

           

            2. Lingkaran Luar Segitiga

           

CONTOH SOAL:

Soal No. 1
Perhatikan gambar bangun datar berikut!

Tentukan:

a) Luas daerah yang diarsir
b) Keliling bangun

Pembahasan
a) Luas daerah yang diarsir
Luas daerah yang diarsir adalah luas persegi dengan sisi 14 cm dikurangi dengan luas SETENGAH lingkaran dengan jari-jari 7 cm.
L = (s x s) − 1/2 x π x r x r
L = (14 x 14) − 1/2 x 22/7 x 7 x 7
L = 196 − 77 = 119 cm2
b) Keliling bangun
Keliling = 14 cm + 14 cm + 14 cm + 1/2× (2π × r) cm
Keliling = 42 cm + 1/2× (2 × 22/7 × 7) = 42 + 22 = 64 cm

Soal No. 2

Perhatikan lingkaran berikut!

Daerah (I) adalah juring lingkaran yang memiliki sudut pusat 50° dan daerah (II) adalah juring lingkaran yang memiliki sudut pusat 120°. Tentukan perbandingan luas daerah (I) dan daerah (II)!

Pembahasan
Luas suatu juring dengan sudut θ adalah :

Jika dua buah juring yang diketahui sudutnya dibandingkan luasnya,  diperoleh:

Soal No. 3
Selembar seng berbentuk persegipanjang berukuran 50 cm × 40 cm. Seng itu dibuat tutup kaleng berbentuk lingkaran dengan jari-jari 20 cm. Luas seng yang tidak digunakan adalah.…
A. 744 cm2
B. 628 cm2
C. 314 cm2
D. 116 cm2

Pembahasan
Luas segiempat dengan ukuran 50 x 40 dikurangi luas lingkaran dengan jari-jari 20 cm:

Soal No. 4

Perhatikan gambar di bawah!

a) Tentukan luas daerah bangun di atas

b) Tentukan keliling bangun di atas

Pembahasan
a) Luas persegi dengan sisi 42 cm, ditambah dengan dua kali luas lingkaran yang berjari-jari 21 cm (setengahnya 42 cm).

b) Keliling dua buah lingkaran
K = 2 × ( 2 π × r )
K = 2 × 2 × 22/7 × 21 = 264 cm


Soal No. 5
Lingkaran A memiliki diameter sebesar D, lingkaran B diameternya 3D. Perbandingan Luas lingkaran A dan lingkaran B adalah....
A. 1 : 2
B. 1 : 6
C. 1 : 9
D. 2 : 3

Pembahasan
Dari rumus luas lingkaran:
L = 1/4 πD2
LA : LB = (DA)2 : (DB)2
= D2 : (3D)2
= 1 : 9
Jadi perbandingannya 1 : 9

Soal No. 6
Perhatikan gambar berikut!

Diketahui panjang busur PQ adalah 60 cm. Keliling lingkaran tersebut adalah.....cm

A. 110
B. 120
C. 140
D. 160

Pembahasan
Dengan hubungan panjang busur-keliling lingkaran dan sudut diperoleh:

Soal No. 7
Perhatikan gambar berikut! ABCD adalah persegi dengan panjang AB = 50 cm.

Luas daerah yang berwarna biru adalah.....cm2

A. 1225,5
B. 1335,5
C. 1337,5
D. 1412,5

Pembahasan
ABCD persegi, sehingga diameter lingkaran adalah 50 cm dan jari-jarinya 25 cm. Luas dua segitiga yang ada dalam lingkaran adalah

Luas daerah yang diminta adalah luas lingkaran dikurangi luas dua segitiga tersebut