Translasi (Pergeseran)
Materi pertama tentang rumus transformasi geometri yang akan dibahas adalah translasi (pergeseran). Translasi merupakan perubahan objek dengan cara menggeser objek dari satu posisi ke posisi lainnya dengan jarak tertentu. Penentuan hasil objek melalui translasi cukup mudah. Caranya hanya dengan menambahkan absis dan ordinat dengan jarak tertentu sesuai dengan ketentuan. Untuk lebih jelasnya mengenai proses translasi dapat dilihat pada gambar di bawah.
Refleksi
(Pencerminan)
Pembahasan berikutnya adalah pencerminan atau yang lebih sering disebut dengan refleksi. Seperti halnya bayangan benda yang terbentuk dari sebuah cermin. Sebuah objek yang mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda yang dihasilkan oleh sebuah cermin. Hasil dari refleksi dalam bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya. Pembahasan materi refleksi yang akan diberikan ada tujuh jenis. Jenis-jenis tersebut antara lain adalah refleksi terhadap sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, titik O (0,0), garis x = h, dan garis y = k. Berikut ini adalah ringkasan daftar matriks transformasi pada refleksi/pencerminan.
Pencerminan terhadap sumbu x
Pada pencerminan terhadap sumbu x, nilai absis tetap dan ordinat menjadi kebalikannya.
Pencerminan terhadap sumbu y, merupakan kebalikan dari pencerminan terhadap sumbu x. Di mana nilai absis menjadi kebalikannya dan nilai ordinatnya tetap.
Pada pencerminan terhadap garis y = x akan mengakibatkan nilai absis menjadi ordinat. Begitu juga, nilai ordinat akan menjadi absis.
Pencerminan terhadap garis y = – x akan membuat nilai absis menjadi kebalikan dari ordinat. Sedangkan nilai ordinat akan menjadi kebalikan dari absis.
Pencerminan pada titik asal artinya melakukan pencerminan terhadap titik O (0,0). Hasil pencerminan terhadap titik asal adalah nilai absis dan ordinat menjadi kebalikannya.
Pencerminan terhadap garis x = h akan membuat titik absis bergeser sejauh 2h. Sedangkan nilai titik ordinatnya tetap.
Pencerminan terhadap garis y = k akan membuat titik ordinatnya bergeser sejauh 2k. Sedangkan nilai titik absisnya tetap.
Rotasi atau perputaran merupakan perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu. Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar α disepakati untuk arah yang berlawanan dengan arah jalan jarum jam. Jika arah perputaran rotasi suatu benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah –α. Hasil rotasi suatu objek tergantung dari pusat dan besar sudut rotasi.
Perhatikan perubahan letak kedudukan segitiga yang diputar sebesar 135o dengan pusat O(0,0) pada gambar di bawah.
Mendapatkan hasil rotasi dengan cara menggambarnya terlebih dahulu akan sangat tidak efektif. Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan hasil objek hasil rotasi, yaitu dengan menggunakan rumus transformasi geometri untuk rotasi. Simak lebih lanjut rumusnya pada pembahasan di bawah.
Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α
Rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar α derajat akan memutar titik koordinatnya sebesar α berlawanan arah jarum jam. Untuk mendapatkan titik bayangan dapat menggunakan persamaan matrik transformasi rotasi berikut.
Rotasi dengan Pusat (m,n) sebesar α
Prinsip pada rotasi dengan pusat P(m,m) sebesar α sama dengan rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar α. Arah rotasinya berlawanan arah jarum jam. Yang menjadi pembeda adalah titik pusat rotasinya. Persamaan matrik transformasi rotasi untuk menentukan bayangannya adalah sebagai berikut.
Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar α kemudian sebesar β
Rotasi juga dapat dilakukan lebih dari satu kali. Berikut ini adalah matrik rotasi untuk menentukan bayangan oleh rotasi dengan pusat O(0,0). Rotasi pertama sebesar α derajat. Selanjutnya adalah rotasi sebesar β derajat.
Rotasi dengan pusat P(m,n) sebesar α kemudian sebesar β
Selain itu, rotasi juga dapat dilakukan lebih dari satu kali dengan pusat rotasi pada titik P. Berikut ini adalah matrik rotasi untuk menentukan bayangan oleh rotasi dengan pusat P(m,m). Rotasi dilakukan berturut – turut untuk sudut α dilanjutkan β derajat.
Dilatasi
Dilatasi disebut juga dengan perbesaran atau pengecilan suatu objek. Jika transformasi pada translasi, refleksi, dan rotasi hanya mengubah posisi benda, maka dilatasi melakukan transformasi geometri dengan merubah ukuran benda.
Ukuran benda hasil dilatasi dapat menjadi lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini bergantung pada skala yang menjadi faktor pengalinya. Rumus dalam dilatasi ada dua, yang dibedakan berdasarkan pusatnya. Selanjutnya perhatikan uraian rumus untuk transformasi geometri pada dilatasi di bawah.
Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala m
Matriks dilatasi dengan titik A(a, b) terhadap titik pusat O(0,0), dengan faktor skala m adalah sebagai berikut.
Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat P(k, l) dengan faktor skala m
Matriks dilatasi dengan titik A(a, b) terhadap titik pusat P(k, l) dengan faktor skala m adalah sebagai berikut.
CONTOH SOAL:
1. Persamaan bayangan kurva y = 3x2 + 2x − 1 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y adalah ...
A. y = −3x2 − 2x − 1
B. y = −3x2 + 2x + 1
C. y = −3x2 + 2x − 1
D. y = 3x2 + 2x + 1
E. y = 3x2 − 2x + 1
Pembahasan :
Misalkan :
T1 = matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu X.
T2 = matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu Y.
T = T2 o T1
T1=[100−1]T1=[100−1] dan T2=[−1001]T2=[−1001]
T=[−1001][100−1]=[−100−1]T=[−1001][100−1]=[−100−1]
Bayangan titik (x, y) oleh transformasi T adalah :
[x′y′]=[−100−1][xy][x′y′]=[−100−1][xy]
[x′y′]=[−x−y][x′y′]=[−x−y]
Dari persamaan matriks diatas, diperoleh :
x' = -x ↔ x = -x'
y' = -y ↔ y = -y'
Substitusi x dan y ke persamaan kurva :
y = 3x2 + 2x − 1
⇒ (-y') = 3(-x')2 + 2(-x') − 1
⇔ -y' = 3(x')2 − 2x' − 1
⇔ y' = −3(x')2 + 2x' + 1
Jadi, persamaan bayangan kurva adalah :
y = −3x2 + 2x + 1
Jawaban : B
2. Transformasi T adalah komposisi dari pencerminan terhadap garis y = x dilanjutkan rotasi dengan pusat O(0, 0) sebesar 90° dengan arah berlawanan arah putar jarum jam. Bayangan dari garis 3x + 5y − 2 = 0 oleh transformasi T mempunyai persamaan ...
A. 3x − 5y − 2 = 0
B. 3x + 5y + 2 = 0
C. 3x − 5y + 2 = 0
D. 5x − 3y + 2 = 0
E. 5x − 3y − 2 = 0
Pembahasan :
T1=[0110]T1=[0110]
T2=[cos90∘−sin90∘sin90∘cos90∘]=[0−110]T2=[cos90∘−sin90∘sin90∘cos90∘]=[0−110]
T=[0−110][0110]=[−1001]T=[0−110][0110]=[−1001]
Bayangan titik (x, y) oleh transformasi T :
[x′y′]=[−1001][xy][x′y′]=[−1001][xy]
[x′y′]=[−xy][x′y′]=[−xy]
Dari persamaan matriks diatas, diperoleh :
x' = -x ↔ x = -x'
y' = y ↔ y = y'
Substitusi x dan y ke persamaan kurva :
3x + 5y − 2 = 0
⇒ 3(-x') + 5(y') − 2 = 0
⇔ -3x' + 5y' − 2 = 0
⇔ 3x' − 5y' + 2 = 0
Jadi, persamaan bayangan kurva adalah :
3x − 5y + 2 = 0
Jawaban : C
3. Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 4 bila dicerminkan terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan dengan translasi [−34][−34] adalah ...
A. x2 + y2 − 2x − 8y + 13 = 0
B. x2 + y2 + 2x − 8y + 13 = 0
C. x2 + y2 − 2x + 8y + 13 = 0
D. x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0
E. x2 + y2 + 8x − 2y + 13 = 0
Pembahasan :
Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan transalasi (-3, 4) adalah :
[x′y′]=[2⋅2−xy]+[−34][x′y′]=[2⋅2−xy]+[−34]
[x′y′]=[1−xy+4][x′y′]=[1−xy+4]
Dari persamaan matrik diatas, diperoleh :
x' = 1 − x ↔ x = 1 − x'
y' = y + 4 ↔ y = y' − 4
Substitusi x dan y ke persamaan lingkaran :
x2 + y2 = 4
⇒ (1 − x')2 + (y' − 4)2 = 4
⇔ 1 − 2x' + (x')2 + (y')2 − 8y' + 16 = 4
⇔ (x')2 + (y')2 − 2x' − 8y' + 13 = 0
Jadi, persamaan bayangan lingkaran adalah :
x2 + y2 − 2x − 8y + 13 = 0
Jawaban : A
4. Diketahui titik A(3, -2) dipetakan oleh translasi T = [1−2][1−2], kemudian dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 90°. Koordinat titik hasil peta A adalah ...
A. (4, 4)
B. (-4, 4)
C. (4, -4)
D. (0, -3)
E. (-3, 0)
Pembahasan :
Bayangan titik A(3, -2) oleh translasi [1−2][1−2] adalah
[x′y′]=[3−2]+[1−2][x′y′]=[3−2]+[1−2]
[x′y′]=[4−4][x′y′]=[4−4]
dilanjutkan rotasi dengan pusat O sejauh 90° :
[x′′y′′]=[cos90∘−sin90∘sin90∘cos90∘][x′y′][x″y″]=[cos90∘−sin90∘sin90∘cos90∘][x′y′]
[x′′y′′]=[0−110][4−4][x″y″]=[0−110][4−4]
[x′′y′′]=[44][x″y″]=[44]
Jadi, koordinat titik hasil peta adalah (4, 4)
Jawaban : A
5. Diketahui M adalah pencerminan terhadap garis y=−xy=−x dan T adalah transformasi yang nyatakan oleh matriks [230−1][230−1]. Koordinat bayangan titik A(2, -8) jika ditransformasikan oleh M dan dilanjutkan oleh T adalah ...
A. (-10, 2)
B. (-2, -10)
C. (10, 2)
D. (-10, -2)
E. (2, 10)
Pembahasan :
M=[0−1−10]M=[0−1−10]
T=[230−1]T=[230−1]
Bayangan titik A(2, -8) oleh transformasi M dan dilanjutkan T adalah :
[x′y′]=[230−1][0−1−10][2−8][x′y′]=[230−1][0−1−10][2−8]
[x′y′]=[−3−210][2−8][x′y′]=[−3−210][2−8]
[x′y′]=[102][x′y′]=[102]
Jadi, bayangan titik A adalah : (10, 2)
Jawaban : C
Tidak ada komentar:
Posting Komentar